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【Sn=1的平方加到n的平方怎么推主要是推理过程不要数学归纳法Sn=1的3次方加到n的3次方怎么推理f(n+1)=f(n)*(1+2的n次方之n)f(1)=1求f(n)】
 更新时间:2024-04-19 16:27:09
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问题描述:

Sn=1的平方加到n的平方怎么推主要是推理过程不要数学归纳法

Sn=1的3次方加到n的3次方怎么推理

f(n+1)=f(n)*(1+2的n次方之n)f(1)=1求f(n)

郭志斌回答:
  nnnn   n^4=∑[k^4-(k-1)^4]=4∑k^3-6∑k^2+4∑k-n   k=1k=1k=1k=1   n   可得∑k^3=[n(n+1)/2]^2   k=1   注意∑是求和的意思   附:   利用立方差公式   n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)]   =n^2+(n-1)^2+n^2-n   =2*n^2+(n-1)^2-n   2^3-1^3=2*2^2+1^2-2   3^3-2^3=2*3^2+2^2-3   4^3-3^3=2*4^2+3^2-4   .   n^3-(n-1)^3=2*n^2+(n-1)^2-n   各等式全相加   n^3-1^3=2*(2^2+3^2+...+n^2)+[1^2+2^2+...+(n-1)^2]-(2+3+4+...+n)   n^3-1=2*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2+[1^2+2^2+...+(n-1)^2+n^2]-n^2-(2+3+4+...+n)   n^3-1=3*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2-n^2-(1+2+3+...+n)+1   n^3-1=3(1^2+2^2+...+n^2)-1-n^2-n(n+1)/2   3(1^2+2^2+...+n^2)=n^3+n^2+n(n+1)/2=(n/2)(2n^2+2n+n+1)   =(n/2)(n+1)(2n+1)   1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6   附:   设S=1^2+2^2+.+n^2   (n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1   n^3-(n-1)^3=3(n-1)^2+3(n-1)+1   ...   ..   ...   2^3-1^3=3*1^2+3*1+1   把上面n个式子相加得:(n+1)^3-1=3*[1^2+2^2+...+n^2]+3*[1+2+.+n]+n   所以S=(1/3)*[(n+1)^3-1-n-(1/2)*n(n+1)]=(1/6)n(n+1)(2n+1)
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