对任意正整数n,用S(n)表示满足不定方程1／x＋1／y＝1／n的正整数对（x,y）的个数例如,满足1／x＋1／y＝1／2的正整数对有（6,3）,（4,4）,（3,6）三个,则S（2）＝3．求出使得S（n）＝2007
更新时间：2024-04-19 19:18:08
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问题描述：
对任意正整数n,用S(n)表示满足不定方程1／x＋1／y＝1／n的正整数对（x,y）的个数例如,满足1／x＋1／y＝1／2的正整数对有（6,3）,（4,4）,（3,6）三个,则S（2）＝3．求出使得S（n）＝2007的所有正整数．
黄春鹏回答：
1/x+1/y=1/n
得x=n+[(n^2)/(y-n)]
要使x,y为正整数,则必须且只须n^2能被y-n整除.
即y-n是n^2的一个因子（包含1和n^2本身）
所以n^2的每一个因子对应一个y,每一个y又对应一个x,
且解的个数s(n)=2007,所以知道,n^2有且仅有2007个因子.
设n的标准分解为：n=(p1^a1)×(p2^a2)×...×(pn^an)
其中pi是不同的质数,ai是pi的指数.
则n^2=(p1^2a1)×(p2^2a2)×...×(pn^2an)
所以n^2的因子总共有(2a1+1)×(2a2+1)×...×(2an+1)个
由题意,(2a1+1)×(2a2+1)×...×(2an+1)=2007
因为2007仅有四种分解形式,即：
2007=1×2007
2007=3×3×223
2007=9×223
2007=3×669
所以解得：
1、a1=1003
2、a1=1,a2=1,a3=111
3、a1=4,a2=111
4、a1=1,a2=334
于是求得使S（n）＝2007的所有正整数n可以表示成如下四种形式：
1、n=p1^1003
2、n=p1×p2×(p3^111)
3、n=(p1^4)×(p2^111)
4、n=p1×(p2^334)
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