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猜想sn=1/1+1/(1+2)+1/(1+2+3)+...+1/(1+2+3+...+n)的表达式,并用数学归纳法证明你的结论.
 更新时间:2024-04-19 05:28:55
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问题描述:

猜想sn=1/1+1/(1+2)+1/(1+2+3)+...+1/(1+2+3+...+n)的表达式,并用数学归纳法证明你的结论.

万常选回答:
  先看单项的分解式:   an=1/(1+2+3+...+n)=2/n(n+1)=2*[1/n-1/(n+1)]   根据单项的分解式来求和:   Sn=a1+a2+...+an   =1+1/(1+2)+1/(1+2+3)+...+1/(1+2+3+...+n)   =2/1*2+2/2*3+2/3*4...+2/n(n+1)   =2*[1/1*2+1/2*3+1/3*4...+1/n(n+1)]   =2*[(1/1-1/2)+(1/2-1/3)+...1/n-1/(n+1)]   =2*[1-1/(n+1)]   当n=1时,   s1=2*1/(1+1)=1成立   当n=k时,假设成立   sk=2k/(k+1)   当n=k+1是   s(k+1)=sk+1/(1+2+3+…+(k+1))   =2k/(k+1)+2/((k+1)(k+2))   =2(k/(k+1)+1/(k+1)-1/(k+2))   =2(1-1/(k+2))   =2(k+1)/((k+1)+1)成立
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