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一道高中数学线面的证明题平面PAC⊥平面ABC,△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形,E,F,O分别为PA,PB,AC的中点,AC=16,PA=PC=10.1在△ABO内是否存在一点M使FM⊥平面BOE,若存在,请找出点M,并求出点M到OA,OB
 更新时间:2024-04-26 08:04:02
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问题描述:

一道高中数学线面的证明题

平面PAC⊥平面ABC,△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形,E,F,O分别为PA,PB,AC的中点,AC=16,PA=PC=10.

1在△ABO内是否存在一点M使FM⊥平面BOE,若存在,请找出点M,并求出点M到OA,OB的距离;若不存在,请说明理由?

兴许里边有没用的条件,

高桥茂回答:
  我的思路是先把坐标轴建起了,再通过坐标向量建立函数关系计算M点位置   做起来有点长   证明:   ∵△ABC为等腰直角三角形且O为AC中点   ∴OB⊥AC   ∵PA=PC=10   ∴△PAC为等腰三角形且O为AC中点   ∴OP⊥AC   ∵面PAC⊥面ABC且AC为交线   ∴OP⊥面ABC   ∴OP,OB,AC两两垂直   以O为原点建立空间直角坐标系   OC为X轴,OP为Y轴,OB为Z轴   ∵PO⊥AC   ∴△POC与△POA为直角三角形   又∵E,F分别为PA与PC中点   ∴有E(-4,6,0)F(4,6,0)   设向量MF⊥面BOEM(X,0,Z)   即,向量MF(4-X,6,-Z)⊥向量OE(-4,6,0)   向量MF(4-X,6,-Z)⊥向量OB(0,0,8√2)   ∴向量MF×向量OE=(4-X)×(-4)+6×6+0=0   向量MF×向量OB=0+0+(-Z)×8√2=0   即有X=-5Z=0M(-5,0,0)   ∴点M到OA距离为0到OB距离为|X|=5
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