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【高等数学极坐标下二重积分转化为两次积分有疑问,非常困扰我们知道二重积分的几何意义是体积.直角坐标系下二重积分化为两次积分是分两步,第一步是固定一个x,算出A(x)这一片矩形截面积,】
 更新时间:2024-04-26 11:49:26
5人问答
问题描述:

高等数学极坐标下二重积分转化为两次积分有疑问,非常困扰

我们知道二重积分的几何意义是体积.直角坐标系下二重积分化为两次积分是分两步,第一步是固定一个x,算出A(x)这一片矩形截面积,然后乘以dx,得这片矩形的体积微元dV就是A(x)dx然后根据定积分的元素法思想再在x的变化范围内积分一次就是体积了.而极坐标下的二次积分的意义我就不明白了,第一步固定一个θ,算出∫(r₁(θ)→r₂(θ))f(rcosθ,rsinθ)rdr,但是这个是什么?这个好像不是其中一片扇形面积A(θ)吧?那A(θ)dθ也自然应该不是一小片扇形的体积微元dV啊,那第二步再在θ的范围内积分又怎么会是体积呢?

丁平回答:
  ∫(r₁(θ)→r₂(θ))f(rcosθ,rsinθ)rdr---------------------没有明确的几何意义,从量纲上来讲,它是体积的量纲;不过,(∫(r₁(θ)→r₂(θ))f(rcosθ,rsinθ)rdr)dθ是微扇形的体积dV
姜永鹏回答:
  为什么(∫(r₁(θ)→r₂(θ))f(rcosθ,rsinθ)rdr)dθ是微扇形的体积dV,那一小片扇形体积怎么是这样求呢?f(rcosθ,rsinθ)不就是是高么,高乘以极径长度,再乘以dr,再乘以角度dθ为什么是那微扇形的体积?不理解
丁平回答:
  坐标系不一样,rdrdθ是面积元素,不可割裂。r方向的积分是r方向面积元素(以及定义在其上函数)的累加。
姜永鹏回答:
  还是不懂,你就告诉我你为什么知道(∫(r₁(θ)→r₂(θ))f(rcosθ,rsinθ)rdr)dθ是微扇形的体积dV?dV的计算公式是什么?比如直角坐标系的微矩形体积dV是截面矩形面积乘以dx,也就是相当于底面积X高
丁平回答:
  你在学习新知识时采用了以现有知识为基点,向外扩展的方式,这是对的。但你不能要求新的东西完全与你现有的知识一样,你只能去认识一个新东西,不仅发现新东西的同,更要能驾驭新东西的异。
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